Фаза колебаний

Вернемся к уравнению

х" = -ω²x, (1)

решением которого, как мы уже знаем, является

x = x_max cos ωt. (2)

Но это — не единственное решение уравнения (1)! У него бесконечно много решений, потому что его решением является функция

х = Acos(ωt + φ₀) (3)

с произвольными постоянными А и φ₀.

1. Проверьте, что функция (3) удовлетворяет уравнению (1).

Каков же смысл входящих в формулу (3) постоянных А и φ₀? Нетрудно догадаться, что А равна по модулю амплитуде колебаний х_max.

А чтобы понять смысл постоянной φ₀, рассмотрим выражение, стоящее в формуле (3) под знаком косинуса. Его называют фазой колебаний и обозначают обычно буквой φ:

φ = ωt + φ₀. (4)

Измеряют фазу колебаний в радианах. Обычно рассматривают изменение фазы в течение одного периода колебаний.

2. Объясните, почему за время, равное одному периоду колебаний Т, фаза колебаний изменяется на 2π.

3. Насколько изменяется фаза колебаний, когда смещение колеблющегося тела изменяется от нуля до амплитудного значения?

Постоянную φ₀ в выражении для фазы колебаний, то есть значение фазы колебаний при t = 0, называют начальной фазой.

Будем считать, что если уравнение колебаний выражается формулой

х = х_max cos ωt,

начальная фаза равна нулю.

4. Объясните, почему если уравнение колебаний выражается формулой

х = х_max sin ωt,

то начальная фаза колебаний равна

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что а также периодичностью тригонометрических функций.

Если два колебания происходят с одной частотой, но отличаются начальными фазами, то говорят, что между ними есть сдвиг фаз. В частности, если сдвиг фаз между двумя колебаниями равен π, то говорят, что эти колебания находятся в противофазе.

5. Объясните, почему для колебаний, находящихся в противофазе, знаки смещений в любой момент противоположны.